Considere o seguinte problema elíptico com condições de Neumann na fronteira.

 - ∆u = u^(p-1) + f(x,u), u > o em U e  ∂u/∂n = u^(q-1) + g (x, u) em ∂U     (P)

onde U é um domínio suave e limitado, do R^N (N ≥ 3), ∂u/∂n é a derivada normal exterior, f e g têm crescimento sub-crítico no infinito, p = 2N/(N-2) e q = 2(N-1)/(N-2) são os expoentes críticos de Sobolev das respectivas imersões de Sobolev  no domínio U e na fronteira de U. Vamos impor condições sobre as funções f e g, considerando o caso sublinear e super-linear, utilizando o método variacional e o método de iteração monotônica para obtermos os resultados de existência e multiplicidade do problema (P).

Resumo: No espaço hiperbólico podemos definir vários tipos de gráficos. Consideramos em particular o gráfico horizontal e o geodésico de uma função real suave     definida em um domínio limitado e simplesmente conexo    contido em um hiperplano totalmente geodésico no espaço hiperbólico.                   Se o gráfico horizontal de      tem curvatura média constante    então    satisfaz a EDO elíptica.                                             

enquanto que se o gráfico geodésico de    tem curvatura média constante    então     satisfaz a equação

onde   é o gradiente euclidiano de   ,     e   . Mostramos que, no caso de curvatura  média constante, tais gráficos são equivalentes no seguinte sentido:  se uma superfície     de curvatura média constante no espaço hiperbólico é gráfico geodésico de uma função   que se anula no bordo do seu domínio, então existe uma outra função suave   que também se anula no bordo e tal que a superfície   é o gráfico horizontal de  . Além disso, a recíproca é verdadeira.